[計算機概論] 定義負數

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第一種定義方式：Two’s Complement Notation

補數：所謂補數(Complement)是指兩個數字加起來等於某數時，則稱該二數互為某數的補數；例如3的10補數為7，同理7的10補數為3（來源：數字系統及數字系統的轉換）

以長度為三個位元為例：定義方式如下

bits 代表的十進位正負數 代表的十進位正整數（這一欄只是輔助對照用的，重點不在這一欄）
011 3 3
010 2 2
001 1 1
000 0 0
111 -1 7
110 -2 6
101 -3 5
100 -4 4

轉換方式

以十進位的 -3 轉為 bits 為例：3 寫成二進位是 011，從右邊往左邊，在遇到第一個 1 之前（含第一個 1）都照抄，第一個 1 之後的都反著抄，所以得到 101。

以十進位的 -2 轉為 bits 為例：2 寫成二進位是 010，從右邊往左邊，在遇到第一個 1 之前（含第一個 1）都照抄，第一個 1 之後的都反著抄，所以得到 110。

另一種轉換方式：長度限制為 3 位元， 23 = 8（十進位）。-3 轉為 bits：8 - 3 = 5，十進位的 5 轉成二進位 101，剛好就是 -3 的 bits

優點

  • 不用另外製作減法電路，用原本的二進位加法電路就夠用了

    例如 3 - 1 即為 3 + (-1)，相當於 011 + 111 = 1010，因為長度只有三位元，所以最開頭的 1 記不住，只剩下後三位 010，010 轉成十進位是 2。所以 3 - 1 = 2

  • 要判斷正負數，只要看最左邊的 bit 是 0 或是 1 就可以知道了。1 開頭的是負數

缺點

  • 排序的電路要重寫。原本 100（轉成十進位正整數的話是 4） > 000（轉成十進位正整數的話是 0），但是現在 100 被定義成 -4，所以要變成 100 < 000


第二種定義方式：Excess

以長度為三個位元為例：定義方式如下

bits 代表的十進位正負數 代表的十進位正整數（這一欄只是輔助對照用的，重點不在這一欄）
000 -4 0
001 -3 1
010 -2 2
011 -1 3
100 0 4
101 1 5
110 2 6
111 3 7

轉換方式

先取得一個特殊的數字備用：「代表的十進位正負數」那一欄的 0，對應到「代表的十進位正整數」那一欄的 4。（4 的計算方式：長度限制是 n 個 bit，那麼就取 2n-1）

以十進位的 2 轉換成 bits 為例：2 + 4 = 6，6 轉成二進位是 110

以十進位的 -2 轉換成 bits 為例：-2 + 4 = 2，2 轉成二進位是 010

優點

  • 要判斷正負數，只要看最左邊的 bit 是 0 或是 1 就可以知道了。0 開頭的是負數

  • 排序的電路不需重寫

缺點

  • 加法需要微調。先求出需要微調的數值 4。（4 的計算方式：長度限制是 n 個 bit，那麼就取 2n-1），4 轉成二進位是 100

    例如 3 - 1 即為 3 + (-1)，根據定義，相當於 111 + 011 = 1010，因為長度只有三位元，所以最開頭的 1 記不住，只剩下後三位 010，然後加上微調的數值 100，得到 110，因為 110 被定義成 2，所以 3 - 1 = 2

參考資料

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